Les vecteurs

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Exercice 1

Dans un repère orthonormé, les points \( A\left(-9 \; ; \, 10 \; ; \, 4\right) \) et \( R\left(-4 \; ; \, -7 \; ; \, 1\right) \) sont donnés.Détermine la norme du vecteur \( \overrightarrow{RA} \).

Réponse

\( \left\| \overrightarrow{RA} \right\| = \sqrt{323}\)

Explications :
\( \overrightarrow{RA}\begin{pmatrix} x_A-x_R \\ y_A-y_R \\ z_A-z_R\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{RA}\begin{pmatrix} -9-\left(-4\right) \\ 10-\left(-7\right) \\ 4-1\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{RA}\begin{pmatrix} -5 \\ 17 \\ 3\end{pmatrix}\)

\(\left\| \overrightarrow{RA} \right\| = \sqrt{ \left(-5\right)^2 + \left(17\right)^2 + \left(3\right)^2}\)

\(\left\| \overrightarrow{RA} \right\| = \sqrt{323}\)

Exercice 2

Dans un repère orthonormé, les points \( U\begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ 4\end{pmatrix} \) et \( E\begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ 0\end{pmatrix} \) sont donnés.Détermine la norme du vecteur \( \overrightarrow{EU} \).

Réponse

\( \left\| \overrightarrow{EU} \right\| = \sqrt{194}\)

Explications :
\( \overrightarrow{EU}\begin{pmatrix} x_U-x_E \\ y_U-y_E \\ z_U-z_E\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{EU}\begin{pmatrix} -10-3 \\ -4-\left(-7\right) \\ 4-0\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{EU}\begin{pmatrix} -13 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}\)

\(\left\| \overrightarrow{EU} \right\| = \sqrt{ \left(-13\right)^2 + \left(3\right)^2 + \left(4\right)^2}\)

\(\left\| \overrightarrow{EU} \right\| = \sqrt{194}\)

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, les points \( A\left(-5 \; ; \, 2 \; ; \, -4\right) \) et \( K\left(4 \; ; \, -10 \; ; \, 9\right) \) sont donnés.Détermine la norme du vecteur \( \overrightarrow{KA} \).

Réponse

\( \left\| \overrightarrow{KA} \right\| = \sqrt{394}\)

Explications :
\( \overrightarrow{KA}\begin{pmatrix} x_A-x_K \\ y_A-y_K \\ z_A-z_K\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{KA}\begin{pmatrix} -5-4 \\ 2-\left(-10\right) \\ -4-9\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{KA}\begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ -13\end{pmatrix}\)

\(\left\| \overrightarrow{KA} \right\| = \sqrt{ \left(-9\right)^2 + \left(12\right)^2 + \left(-13\right)^2}\)

\(\left\| \overrightarrow{KA} \right\| = \sqrt{394}\)

Exercice 4

Dans un repère orthonormé, les points \( T\left(-\frac{1}{10} \; ; \, \frac{3}{4} \; ; \, \frac{2}{5}\right) \) et \( A\left(6 \; ; \, -10 \; ; \, 5\right) \) sont donnés.Détermine les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{TA} \).

Réponse

\( \overrightarrow{TA}\begin{pmatrix} \frac{61}{10} \\ -\frac{43}{4} \\ \frac{23}{5}\end{pmatrix}\)

Explications :
Pour calculer les coordonnées d’un vecteur, il faut soustraire les coordonnées du point de départ aux coordonnées du point d’arrivée.
\( \overrightarrow{TA}\begin{pmatrix} x_A-x_T \\ y_A-y_T \\ z_A-z_T\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{TA}\begin{pmatrix} 6-\left(-\frac{1}{10}\right) \\ -10-\frac{3}{4} \\ 5-\frac{2}{5}\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{TA}\begin{pmatrix} \frac{61}{10} \\ -\frac{43}{4} \\ \frac{23}{5}\end{pmatrix}\)

Exercice 5

Dans un repère orthonormé, les points \( F\begin{pmatrix} -3 \\ -7\end{pmatrix} \) et \( I\begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \) sont donnés.Détermine les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{IF} \).

Réponse

\( \overrightarrow{IF}\begin{pmatrix} -2 \\ -8\end{pmatrix}\)

Explications :
Pour calculer les coordonnées d’un vecteur, il faut soustraire les coordonnées du point de départ aux coordonnées du point d’arrivée.
\( \overrightarrow{IF}\begin{pmatrix} x_F-x_I \\ y_F-y_I\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{IF}\begin{pmatrix} -3-\left(-1\right) \\ -7-1\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{IF}\begin{pmatrix} -2 \\ -8\end{pmatrix}\)

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