Exercices sur la factorisation des polynômes d’ordre deux

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Factoriser des polynômes d'ordre deux

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

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Exercice 1

Factoriser l'expression suivante dans \(\mathbb{R}\) :
\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9}\)

Réponse

\(\frac{5}{3}\left(z + \frac{5}{3}\right)\left(z - 1\right)\)

Explications

\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9} = 0\)
\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9} = 0\)
\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9}0 = 0\)
\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9} = 0\)

\(\frac{5}{3}z^{2} + \frac{10}{9}z - \frac{25}{9} = 0\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(\frac{10}{9}\right)^{2}- 4 \times \frac{5}{3}\times\left(-\frac{25}{9}\right) = \frac{1600}{81}\)
\(\Delta > 0\) dans \(\mathbb{R}\) on a 2 racines.

\(z_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{10}{9}+\sqrt{\frac{1600}{81}}}{2 \times \frac{5}{3}} = -\frac{5}{3}\)

\(z_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{10}{9}-\sqrt{\frac{1600}{81}}}{2 \times \frac{5}{3}} = 1\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(\frac{5}{3}\left(z + \frac{5}{3}\right)\left(z - 1\right)\)

Exercice 2

Factoriser l'expression suivante dans \(\mathbb{R}\) :
\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 8\)

Réponse

\(\frac{8}{5}\left(z + \frac{5}{4}\right)\left(z - 4\right)\)

Explications

\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 8 = 0\)
\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 8 = 0\)
\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 80 = 0\)
\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 8 = 0\)

\(\frac{8}{5}z^{2} - \frac{22}{5}z - 8 = 0\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{22}{5}\right)^{2}- 4 \times \frac{8}{5}\times\left(-8\right) = \frac{1764}{25}\)
\(\Delta > 0\) dans \(\mathbb{R}\) on a 2 racines.

\(z_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{22}{5}\right)+\sqrt{\frac{1764}{25}}}{2 \times \frac{8}{5}} = -\frac{5}{4}\)

\(z_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{22}{5}\right)-\sqrt{\frac{1764}{25}}}{2 \times \frac{8}{5}} = 4\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(\frac{8}{5}\left(z + \frac{5}{4}\right)\left(z - 4\right)\)

Exercice 3

Factoriser l'expression suivante dans \(\mathbb{R}\) :
\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5}\)

Réponse

\(4\left(y + \frac{4}{5}\right)\left(y - 1\right)\)

Explications

\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5} = 0\)
\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5} = 0\)
\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5}0 = 0\)
\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5} = 0\)

\(4y^{2} - \frac{4}{5}y - \frac{16}{5} = 0\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{4}{5}\right)^{2}- 4 \times 4\times\left(-\frac{16}{5}\right) = \frac{1296}{25}\)
\(\Delta > 0\) dans \(\mathbb{R}\) on a 2 racines.

\(y_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{4}{5}\right)+\sqrt{\frac{1296}{25}}}{2 \times 4} = -\frac{4}{5}\)

\(y_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{4}{5}\right)-\sqrt{\frac{1296}{25}}}{2 \times 4} = 1\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(4\left(y + \frac{4}{5}\right)\left(y - 1\right)\)

Exercice 4

Factoriser l'expression suivante dans \(\mathbb{R}\) :
\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10}\)

Réponse

\(-\frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{2}\right)\left(y - 2\right)\)

Explications

\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10} = 0\)
\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10} = 0\)
\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10}0 = 0\)
\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10} = 0\)

\(- \frac{3}{10}y^{2} + \frac{3}{4}y - \frac{3}{10} = 0\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(\frac{3}{4}\right)^{2}- 4 \times \left(-\frac{3}{10}\right)\times\left(-\frac{3}{10}\right) = \frac{81}{400}\)
\(\Delta > 0\) dans \(\mathbb{R}\) on a 2 racines.

\(y_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{81}{400}}}{2 \times \left(-\frac{3}{10}\right)} = \frac{1}{2}\)

\(y_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{3}{4}-\sqrt{\frac{81}{400}}}{2 \times \left(-\frac{3}{10}\right)} = 2\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(-\frac{3}{10}\left(y - \frac{1}{2}\right)\left(y - 2\right)\)

Exercice 5

Factoriser l'expression suivante dans \(\mathbb{R}\) :
\(- 9x^{2} - 72x - 135\)

Réponse

\(-9\left(x + 5\right)\left(x + 3\right)\)

Explications

\(- 9x^{2} - 72x - 135 = 0\)
\(- 9x^{2} - 72x - 135 = 0\)
\(- 9x^{2} - 72x - 1350 = 0\)
\(- 9x^{2} - 72x - 135 = 0\)

\(- 9x^{2} - 72x - 135 = 0\)
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-72\right)^{2}- 4 \times \left(-9\right)\times\left(-135\right) = 324\)
\(\Delta > 0\) dans \(\mathbb{R}\) on a 2 racines.

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-72\right)+\sqrt{324}}{2 \times \left(-9\right)} = -5\)

\(x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-72\right)-\sqrt{324}}{2 \times \left(-9\right)} = -3\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(-9\left(x + 5\right)\left(x + 3\right)\)

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