Réponse

\(y+\frac{11}{2}x + 41 = 0\)

Explications :
L'équation réduite d'une droite est de la forme : \( y = ax +b \) avec \( a,b,x,y \) des réels.
a est la pente de la droite et b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées).

On applique la formule de la pente d'une droite :
\( \text{pente}_{ET} = \frac{y_T-y_E}{x_T-x_E} \)

\( \text{pente}_{ET} = \frac{-3-8}{-8-\left(-6\right)} \)

\( \text{pente}_{ET} = \frac{-11}{-2} \)

\( \text{pente}_{ET} = \frac{11}{2}\)

Le point E\(\left(-6 \; ; \, 8\right)\) appartient à la droite donc il vérifie l'équation \( y = ax+ b \).
De plus \( a = \frac{11}{2}\) donc \( y = \frac{11}{2}x + b\)
On a donc l'équation suivante et on cherche b : \(8 = \frac{11}{2}\times\left(-6\right) + b \)
\(8 = -33 + b \)

\(8 - \left(-33\right) = b \)

\(41 = b \)


L'équation réduite est donc \( y = \frac{11}{2}x + 41\)
Donc l'équation cartésienne est : \(y-\frac{11}{2}x-41 = 0\)
On va multiplier par 2 l'équation pour retirer les fractions.
\(2y-11x-82 = 0\)

Réponse

\( y = \frac{6}{7}x-\frac{33}{7}\)

Explications :
L'équation réduite d'une droite est de la forme : \( y = ax +b \) avec \( a,b,x,y \) des réels.
a est la pente de la droite et b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées).

On applique la formule de la pente d'une droite :
\( \text{pente}_{AN} = \frac{y_N-y_A}{x_N-x_A} \)

\( \text{pente}_{AN} = \frac{-9-\left(-3\right)}{-5-2} \)

\( \text{pente}_{AN} = \frac{-6}{-7} \)

\( \text{pente}_{AN} = \frac{6}{7}\)

Le point A\(\left(2 \; ; \, -3\right)\) appartient à la droite donc il vérifie l'équation \( y = ax+ b \).
De plus \( a = \frac{6}{7}\) donc \( y = \frac{6}{7}x + b\)
On a donc l'équation suivante et on cherche b : \(-3 = \frac{6}{7}\times2 + b \)
\(-3 = \frac{12}{7} + b \)

\(-3 - \frac{12}{7} = b \)

\(-\frac{33}{7} = b \)


L'équation réduite est donc \( y = \frac{6}{7}x-\frac{33}{7}\)

Réponse

\(y+\frac{1}{4}x-\frac{15}{2} = 0\)

Explications :
L'équation réduite d'une droite est de la forme : \( y = ax +b \) avec \( a,b,x,y \) des réels.
a est la pente de la droite et b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées).

On applique la formule de la pente d'une droite :
\( \text{pente}_{LA} = \frac{y_A-y_L}{x_A-x_L} \)

\( \text{pente}_{LA} = \frac{-6-\left(-7\right)}{6-2} \)

\( \text{pente}_{LA} = \frac{1}{4} \)

Le point L\(\left(2 \; ; \, -7\right)\) appartient à la droite donc il vérifie l'équation \( y = ax+ b \).
De plus \( a = \frac{1}{4}\) donc \( y = \frac{1}{4}x + b\)
On a donc l'équation suivante et on cherche b : \(-7 = \frac{1}{4}\times2 + b \)
\(-7 = \frac{1}{2} + b \)

\(-7 - \frac{1}{2} = b \)

\(-\frac{15}{2} = b \)


L'équation réduite est donc \( y = \frac{1}{4}x-\frac{15}{2}\)
Donc l'équation cartésienne est : \(y-\frac{1}{4}x + \frac{15}{2} = 0\)
On va multiplier par 4 l'équation pour retirer les fractions.
\(4y-x + 30 = 0\)

Réponse

\(\left(HA\right):\begin{cases}x = \frac{7}{4}t + \frac{5}{4}\\\\y = \frac{17}{2}t-\frac{9}{2}\\\\z = -\frac{28}{5}t-\frac{2}{5}\\\\\end{cases}\; \text{avec} \; t \in \mathbb{R}\)

Explications :
Pour trouver l'équation paramétrique d'une droite il faut trouver un vecteur directeur de la droite et un point de la droite.
\( \overrightarrow{HA}\begin{pmatrix} x_A-x_H \\ y_A-y_H \\ z_A-z_H\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{HA}\begin{pmatrix} 3-\frac{5}{4} \\ 4-\left(-\frac{9}{2}\right) \\ -6-\left(-\frac{2}{5}\right)\end{pmatrix}\)

\( \overrightarrow{HA}\begin{pmatrix} \frac{7}{4} \\ \frac{17}{2} \\ -\frac{28}{5}\end{pmatrix}\)

L'équation paramétrique de la droite est :
\(\left(HA\right):\begin{cases}x = x_\overrightarrow{HA}\times t + x_H\\\\y = y_\overrightarrow{HA}\times t + y_H\\\\z = z_\overrightarrow{HA}\times t + z_H\\\\\end{cases}\; \text{avec} \; t \in \mathbb{R}\)

\(\left(HA\right):\begin{cases}x = \frac{7}{4}\times t + \frac{5}{4}\\\\y = \frac{17}{2}\times t + \left(-\frac{9}{2}\right)\\\\z = -\frac{28}{5}\times t + \left(-\frac{2}{5}\right)\\\\\end{cases}\; \text{avec} \; t \in \mathbb{R}\)

\(\left(HA\right):\begin{cases}x = \frac{7}{4}t + \frac{5}{4}\\\\y = \frac{17}{2}t-\frac{9}{2}\\\\z = -\frac{28}{5}t-\frac{2}{5}\\\\\end{cases}\; \text{avec} \; t \in \mathbb{R}\)

Réponse

\( y = \frac{1}{2}x + \frac{13}{2}\)

Explications :
L'équation réduite d'une droite est de la forme : \( y = ax +b \) avec \( a,b,x,y \) des réels.
a est la pente de la droite et b est l'ordonnée à l'origine (l'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées).

On applique la formule de la pente d'une droite :
\( \text{pente}_{HA} = \frac{y_A-y_H}{x_A-x_H} \)

\( \text{pente}_{HA} = \frac{5-8}{-3-3} \)

\( \text{pente}_{HA} = \frac{-3}{-6} \)

\( \text{pente}_{HA} = \frac{1}{2}\)

Le point H\(\left(3 \; ; \, 8\right)\) appartient à la droite donc il vérifie l'équation \( y = ax+ b \).
De plus \( a = \frac{1}{2}\) donc \( y = \frac{1}{2}x + b\)
On a donc l'équation suivante et on cherche b : \(8 = \frac{1}{2}\times3 + b \)
\(8 = \frac{3}{2} + b \)

\(8 - \frac{3}{2} = b \)

\(\frac{13}{2} = b \)


L'équation réduite est donc \( y = \frac{1}{2}x + \frac{13}{2}\)