Dénombrement

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●●○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●●○○

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Exercice 1

On dispose de 13 galets de couleurs différentes. On effectue 4 tirages successifs sans remise et on note la couleur obtenue à chaque tirage.
Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Réponse

17 160

Explications :
On a des tirages successifs sans remise donc on a
13 possibilités pour le tirage numéro 1,
12 possibilités pour le tirage numéro 2,
11 possibilités pour le tirage numéro 3,
10 possibilités pour le tirage numéro 4,
On fait : \(13 \times 12 \times 11 \times 10 = \) 17 160

Ici, on prend en compte l'ordre, c'est-à-dire que AB et BA comptent pour deux possibilités différentes.
Un arrangement ne peut pas contenir de répétition : AA n'est donc pas autorisé. On peux appliquer la formule suivante :
\( A_{\text{nombre d'éléments}}^{\text{nombre de tirages}} = A_{13}^{4} = \frac{13!}{(13-4)!} = \) 17 160

Exercice 2

On a 9 dés rouges et de 6 dés bleus.
Combien d'ordres différents peut-on obtenir ?

Réponse

5 005

Explications :
Au total on a 15 dés donc 15! permutations possibles.
Par contre les 9 emplacements pris par les dés rouges ne forment pas des permutations différentes.
De même pour les 6 dés bleus.
Ainsi on divise le nombre total par ces 2 valeurs, ce qui revient à utiliser :
\( \binom{\text{15}}{\text{9}} = \frac{15!}{9! \;6!} = \) 5 005

Exercice 3

On dispose de 12 galets de couleurs différentes. On effectue 5 tirages successifs avec remise et on note la couleur obtenue à chaque tirage.
Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Réponse

248 832

Explications :
On a des tirages successifs avec remise donc on a
12 possibilités pour le tirage numéro 1,
12 possibilités pour le tirage numéro 2,
12 possibilités pour le tirage numéro 3,
12 possibilités pour le tirage numéro 4,
12 possibilités pour le tirage numéro 5,
On fait : \(12 \times 12 \times 12 \times 12 \times 12 = \) 248 832

Ici, on prend en compte l'ordre, c'est-à-dire que AB et BA comptent pour deux possibilités différentes.
On peut directement appliquer la formule :
\( \text{(nombre d'éléments)}^{\text{nombre de tirages}} = 12^{5} = \) 248 832

Exercice 4

On dispose de 12 galets de couleurs différentes. On effectue 5 tirages successifs sans remise et on note la couleur obtenue à chaque tirage.
Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Réponse

95 040

Explications :
On a des tirages successifs sans remise donc on a
12 possibilités pour le tirage numéro 1,
11 possibilités pour le tirage numéro 2,
10 possibilités pour le tirage numéro 3,
9 possibilités pour le tirage numéro 4,
8 possibilités pour le tirage numéro 5,
On fait : \(12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 = \) 95 040

Ici, on prend en compte l'ordre, c'est-à-dire que AB et BA comptent pour deux possibilités différentes.
Un arrangement ne peut pas contenir de répétition : AA n'est donc pas autorisé. On peux appliquer la formule suivante :
\( A_{\text{nombre d'éléments}}^{\text{nombre de tirages}} = A_{12}^{5} = \frac{12!}{(12-5)!} = \) 95 040

Exercice 5

On a 6 pions de couleurs différentes.
Combien d'ordres différents peut-on obtenir ?

Réponse

720

Explications :
On va obtenir 6! ordres différents.
6! = 720

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