Exercices sur les problèmes en statistique

Résoudre des problèmes sur les statistiques

Connaissances préalables : 📘 ●●○○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●●●○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●●○○

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Les problèmes de statistiques tournent très souvent autour de la notion de moyenne. On ne te demande pas seulement de la calculer, mais aussi de résoudre des situations plus complexes : déterminer une valeur manquante pour obtenir une moyenne donnée, comprendre comment la moyenne change lorsqu’on ajoute ou retire une donnée, ou encore comparer deux séries à partir de leur moyenne.

Exercice 1

On considère une première série statistique de moyenne \(\frac{2019}{22}\)contenant 22 éléments. Puis une deuxième série statistique de moyenne \(\frac{197}{19}\) contenant 19 éléments.
Quelle est la moyenne de l’ensemble des deux séries ?

Réponse

\(\frac{2216}{41}\)

Explications :
Dans un premier temps il faut calculer la somme des valeurs de chacune des séries.
La moyenne est calculée à partir de la formule suivante :
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
Donc on fait le produit en croix : \( \frac{\text{Moyenne}}{1} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
\( \frac{\text{Moyenne} \times \text{effectif total}}{1} = \text{Somme des valeurs} \)

\( \text{Somme des valeurs de la série 1} = \frac{\frac{2019}{22} \times 22}{1} = 2019\)
\( \text{Somme des valeurs de la série 2} = \frac{\frac{197}{19} \times 19}{1} = 197\)

Dans un second temps il faut réapliquer la formule de la moyenne mais sur la série globale.
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs de la série globale}}{\text{effectif total de la série globale}} \)
\( \text{Moyenne globale} = \frac{2019 + 197}{22 + 19} = \frac{2216}{41} \)

Exercice 2

On considère une première série statistique de moyenne \(\frac{3570}{23}\)contenant 46 éléments. Puis une deuxième série statistique de moyenne \(\frac{4750}{33}\) contenant 33 éléments.
Quelle est la moyenne de l’ensemble des deux séries ?

Réponse

\(\frac{11890}{79}\)

Explications :
Dans un premier temps il faut calculer la somme des valeurs de chacune des séries.
La moyenne est calculée à partir de la formule suivante :
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
Donc on fait le produit en croix : \( \frac{\text{Moyenne}}{1} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
\( \frac{\text{Moyenne} \times \text{effectif total}}{1} = \text{Somme des valeurs} \)

\( \text{Somme des valeurs de la série 1} = \frac{\frac{3570}{23} \times 46}{1} = 7140\)
\( \text{Somme des valeurs de la série 2} = \frac{\frac{4750}{33} \times 33}{1} = 4750\)

Dans un second temps il faut réapliquer la formule de la moyenne mais sur la série globale.
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs de la série globale}}{\text{effectif total de la série globale}} \)
\( \text{Moyenne globale} = \frac{7140 + 4750}{46 + 33} = \frac{11890}{79} \)

Exercice 3

On considère une série statistique de moyenne \(\frac{263}{19}\) contenant 19 éléments.
À cette série, on ajoute un élément et la moyenne devient \(\frac{279}{20}\).
Quelle est la valeur de l’élément ajouté ?

Réponse

16

Explications :
On pose \( x \) la valeur ajoutée à la série et \( S \) la somme des valeurs.
La moyenne est calculée à partir de la formule suivante :
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)

On obtient donc deux équations :
\( \begin{cases}\frac{263}{19} = \frac{\text{S}}{\text{19}}\\\\\frac{279}{20} = \frac{\text{S} + \text{x}}{\text{19 + 1}}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}\frac{263}{19} \times 19 = \text{S}\\\\\frac{279}{20} = \frac{\text{S} + \text{x}}{\text{20}}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}263 = \text{S}\\\\\frac{279}{20} \times 20 = \text{S} + \text{x}\\\\\end{cases} \)

On remplace la valeur de \( \text{S} \) dans la ligne 2 :
\( \begin{cases}263 = \text{S}\\\\\frac{279}{20} \times 20 = 263 + \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}263 = \text{S}\\\\279 = 263 + \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}263 = \text{S}\\\\279 - 263 = \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}263 = \text{S}\\\\16 = \text{x}\\\\\end{cases} \)


Exercice 4

On considère une première série statistique de moyenne \(\frac{1508}{11}\)contenant 33 éléments. Puis une deuxième série statistique de moyenne \(\frac{3763}{26}\) contenant 26 éléments.
Quelle est la moyenne de l’ensemble des deux séries ?

Réponse

\(\frac{8287}{59}\)

Explications :
Dans un premier temps il faut calculer la somme des valeurs de chacune des séries.
La moyenne est calculée à partir de la formule suivante :
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
Donc on fait le produit en croix : \( \frac{\text{Moyenne}}{1} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)
\( \frac{\text{Moyenne} \times \text{effectif total}}{1} = \text{Somme des valeurs} \)

\( \text{Somme des valeurs de la série 1} = \frac{\frac{1508}{11} \times 33}{1} = 4524\)
\( \text{Somme des valeurs de la série 2} = \frac{\frac{3763}{26} \times 26}{1} = 3763\)

Dans un second temps il faut réapliquer la formule de la moyenne mais sur la série globale.
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs de la série globale}}{\text{effectif total de la série globale}} \)
\( \text{Moyenne globale} = \frac{4524 + 3763}{33 + 26} = \frac{8287}{59} \)

Exercice 5

On considère une série statistique de moyenne \(\frac{2753}{30}\) contenant 30 éléments.
À cette série, on ajoute un élément et la moyenne devient \(\frac{2935}{31}\).
Quelle est la valeur de l’élément ajouté ?

Réponse

182

Explications :
On pose \( x \) la valeur ajoutée à la série et \( S \) la somme des valeurs.
La moyenne est calculée à partir de la formule suivante :
\( \text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des valeurs}}{\text{effectif total}} \)

On obtient donc deux équations :
\( \begin{cases}\frac{2753}{30} = \frac{\text{S}}{\text{30}}\\\\\frac{2935}{31} = \frac{\text{S} + \text{x}}{\text{30 + 1}}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}\frac{2753}{30} \times 30 = \text{S}\\\\\frac{2935}{31} = \frac{\text{S} + \text{x}}{\text{31}}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}2753 = \text{S}\\\\\frac{2935}{31} \times 31 = \text{S} + \text{x}\\\\\end{cases} \)

On remplace la valeur de \( \text{S} \) dans la ligne 2 :
\( \begin{cases}2753 = \text{S}\\\\\frac{2935}{31} \times 31 = 2753 + \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}2753 = \text{S}\\\\2935 = 2753 + \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}2753 = \text{S}\\\\2935 - 2753 = \text{x}\\\\\end{cases} \)

\( \begin{cases}2753 = \text{S}\\\\182 = \text{x}\\\\\end{cases} \)


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