Exercices sur la factorisation des polynômes d’ordre deux

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Exercice 1

Factorisation d'un polynôme de degrés 2

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

Enonce

Factoriser l'expression suivante :
\(-x^{2} + \frac{11}{4}x + \frac{3}{4}\)

Réponse

\(-1\left(x + \frac{1}{4}\right)\left(x-3\right)\)

Explications :
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(\frac{11}{4}\right)^{2}- 4 \times \left(-1\right)\times\frac{3}{4} = \frac{169}{16}\)
\( \Delta > 0 \) dans \( \mathbb{R} \) on a 2 racines.

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{11}{4}+\sqrt{\frac{169}{16}}}{2 \times \left(-1\right)} = -\frac{1}{4}\)

\(x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\frac{11}{4}-\sqrt{\frac{169}{16}}}{2 \times \left(-1\right)} = 3\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(-1\left(x + \frac{1}{4}\right)\left(x-3\right)\)

Exercice 2

Factorisation d'un polynôme de degrés 2

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

Enonce

Factoriser l'expression suivante :
\(-\frac{1}{2}y^{2} + 8\)

Réponse

\(-\frac{1}{2}\left(y + 4\right)\left(y-4\right)\)

Explications :
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(0\right)^{2}- 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right)\times8 = 16\)
\( \Delta > 0 \) dans \( \mathbb{R} \) on a 2 racines.

\(y_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0+\sqrt{16}}{2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = -4\)

\(y_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0-\sqrt{16}}{2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)} = 4\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(-\frac{1}{2}\left(y + 4\right)\left(y-4\right)\)

Exercice 3

Factorisation d'un polynôme de degrés 2

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

Enonce

Factoriser l'expression suivante :
\(-6x^{2}-\frac{5}{2}x + \frac{25}{2}\)

Réponse

\(-6\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)\)

Explications :
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{5}{2}\right)^{2}- 4 \times \left(-6\right)\times\frac{25}{2} = \frac{1225}{4}\)
\( \Delta > 0 \) dans \( \mathbb{R} \) on a 2 racines.

\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)+\sqrt{\frac{1225}{4}}}{2 \times \left(-6\right)} = -\frac{5}{3}\)

\(x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)-\sqrt{\frac{1225}{4}}}{2 \times \left(-6\right)} = \frac{5}{4}\)

On trouve donc la forme factorisée suivante :
\(-6\left(x + \frac{5}{3}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)\)

Exercice 4

Factorisation d'un polynôme de degrés 2

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

Enonce

Factoriser l'expression suivante :
\(-z^{2}-\frac{8}{3}z-\frac{481}{144}\)

Réponse

Pas de factorisation possible.

Explications :
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-\frac{8}{3}\right)^{2}- 4 \times \left(-1\right)\times\left(-\frac{481}{144}\right) = -\frac{25}{4}\)
\( \Delta < 0 \) dans les réels \( \mathbb{R} \) on a pas de racines.

On trouve donc la forme factorisée suivante :
Pas de factorisation possible.

Exercice 5

Factorisation d'un polynôme de degrés 2

Connaissances préalables : 📘 ●●●○○
Raisonnements et logique : 🧠 ●●○○○
Difficulté d'apprentissage : ⭐ ●●○○○

Enonce

Factoriser l'expression suivante :
\(7y^{2}-28y + \frac{287}{4}\)

Réponse

Pas de factorisation possible.

Explications :
\(\Delta = b^2 - 4ac = \left(-28\right)^{2}- 4 \times 7\times\frac{287}{4} = -1225\)
\( \Delta < 0 \) dans les réels \( \mathbb{R} \) on a pas de racines.

On trouve donc la forme factorisée suivante :
Pas de factorisation possible.

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