La factorisation
La technique de factorisation en mathématiques
La factorisation consiste à transformer une somme ou une différence en un produit. Autrement dit, la dernière opération effectuée doit être une multiplication.
La factorisation sert principalement à résoudre des équations en mathématiques. C’est une technique fondamentale qu’il faut maîtriser parfaitement pour réussir un grand nombre d’exercices.
💎 La factorisation : un véritable luxe en mathématiques
Ce qu’il faut bien avoir en tête, c’est que pouvoir factoriser une expression est presque un “luxe” en mathématiques. En réalité, il existe relativement peu d’expressions réellement factorisables, et donc, par la même occasion, peu d’équations que l’on peut résoudre uniquement grâce à la factorisation. C’est précisément pour cette raison qu’il est essentiel de bien maîtriser cette technique lorsqu’elle est applicable : elle devient alors un outil particulièrement puissant.
Comment utiliser cette page d’exercices ?
Sur cette page, tu peux t’entraîner à ton rythme sur les principales notions de statistiques.
👉 Clique sur la notion qui t’intéresse pour ouvrir l’accordéon correspondant et t’exercer sur des exercices générés automatiquement.
Tu peux refaire autant d’exercices que tu le souhaites, avec des données différentes à chaque fois, afin de bien maîtriser chaque notion.
👉 Si tu te sens à l’aise ou si tu veux t’entraîner comme à l’examen, tu peux aussi aller directement à l’exercice de synthèse, qui regroupe toutes les notions de statistiques dans un seul exercice.
💡 Conseil :
- travaille d’abord les notions séparément si tu débutes ou si une notion te pose problème ;
- termine par l’exercice de synthèse (général ou pour ta classe) pour vérifier que tu sais tout enchaîner correctement.
Exemple de profil de difficulté de l’exercice
Chaque critère est noté de 1 à 5 : 1 correspond à un niveau très facile et 5 à un niveau difficile.
Connaissances préalables
📘 ●○○○○
Raisonnement et logique
🧠 ●○○○○
Difficulté d’apprentissage
⭐ ●○○○○
Les techniques de factorisations
Attention :
Ici, toutes les expressions seront ordonnées selon la convention usuelle, c’est-à-dire en classant les puissances de x dans l’ordre croissant. Cependant, dans d’autres exercices, ce ne sera pas toujours le cas. Pensez donc à vérifier et à ranger le polynôme avant d’appliquer la technique de factorisation. Je n’ai pas proposé d’exercices de ce type ici, car cette page est uniquement consacrée à la technique de factorisation. Vous pouvez toutefois vous entraîner à ranger un polynôme dans une section dédiée aux équations.
Convention d’ordre (exemple de polynômes) :
La factorisation à l’aide d’un facteur commun
📘 ●○○○○
🧠 ●●●●○
⭐ ●●○○○
🌍✨ Factorisation avec facteur commun✨🌍
La factorisation à l’aide des identités remarquables
Les identités remarquables sont au nombre de trois et permettent de passer facilement d’une forme développée à une forme factorisée. Elles constituent un outil essentiel en algèbre, car elles offrent une méthode rapide et efficace pour transformer certaines expressions sans refaire tout le calcul. Bien les connaître et savoir les reconnaître permet de gagner du temps et d’éviter de nombreuses erreurs.
Première identité
Deuxième identité
Troisième identité
📘 ●●○○○
🧠 ●●●○○
⭐ ●●○○○
🌍✨ Factorisation à l’aide des identités remarquables ✨🌍
La factorisation d’un polynôme quelconque du second degrés
Factoriser un polynôme de la forme :
Tout d’abord on résous l’équation :
On utilise :
Si on a une forme factorisée.
Si on a 2 racines :
La forme factorisée de l’expression est donc :
Si on a 1 racine : (Les deux expressions des racines ci-dessus sont équivalentes car )
La forme factorisée de l’expression est donc :
📘 ●●●○○
🧠 ●●○○○
⭐ ●●○○○
🌍✨ Factorisation à l’aide de ✨🌍
L’expression est-elle factorisable ?
Dans cette section, nous allons étudier dans quels cas la factorisation est possible. En effet, toutes les expressions ne peuvent pas être factorisées : seules certaines s’y prêtent. Il est donc essentiel de savoir les reconnaître.
En cours de programmation
Factoriser une expression
Synthèse complète de la factorisation (niveau Terminale)
🌍✨ Factorisation ✨🌍
Exercices sur la factorisation rangés par niveau
La factorisation au niveau 4e
🌍✨ Factorisation niveau 4e ✨🌍
La factorisation au niveau 3e et seconde
🌍✨ Factorisation niveau 3e ✨🌍
Programme de statistiques du collège au lycée
| Classes | Notions ajoutées par rapport aux classes précédentes |
| 4e | Factorisation à l’aide d’un facteur commun. 📘 ●○○○○ – 🧠 ●●●●○ – ⭐ ●●○○○ |
| 3e – 2nd | Factorisation à l’aide des identités remarquables. 📘 ●●○○○ – 🧠 ●●●○○ – ⭐ ●●○○○ |
| 1er – Ter | Factorisation un polynôme du second degrés général. 📘 ●●●○○ – 🧠 ●●○○○ – ⭐ ●●○○○ |
Utiliser la factorisation
Equations
Fractions
Explications des exercices
Exercices : Factoriser à l’aide d’un facteur commun
L’exercice de factorisation avec un facteur commun permet de s’entraîner à transformer une expression algébrique en mettant en évidence un facteur présent dans plusieurs termes. L’élève doit repérer ce facteur commun dans l’expression donnée, puis écrire l’expression sous forme factorisée. Les expressions proposées peuvent contenir des nombres, des lettres ou des produits, et l’objectif est de faire apparaître clairement le facteur commun et de factoriser l’expression.
Exercices : Factoriser à l’aide des identités remarquables
L’exercice de factorisation avec les identités remarquables permet de s’entraîner à reconnaître certaines formes particulières d’expressions algébriques. L’élève doit identifier l’identité remarquable présente dans l’expression (comme , ou , puis repérer les termes correspondants afin de factoriser correctement l’expression. Les expressions proposées amènent l’élève à identifier la structure de l’identité remarquable et à appliquer la formule de factorisation adaptée.
Exercices : Factoriser un polynôme de degrés 2
L’exercice de factorisation d’un polynôme de degré deux permet de s’entraîner à utiliser la méthode du discriminant (Δ). L’élève doit identifier les coefficients du polynôme, calculer le discriminant, puis déterminer les racines de l’équation associée. À partir de ces racines, il peut écrire la forme factorisée du polynôme. Les expressions proposées permettent de s’exercer à appliquer la méthode du calcul de Δ et à factoriser correctement le polynôme.
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