Simplifications d’opérations
Il est important d’apprendre à être à l’aise avec les nombres : savoir manipuler une fraction, simplifier une racine, effectuer une addition, une soustraction, une multiplication ou une division. Il faut aussi maîtriser le développement et la factorisation d’expressions, ainsi que la décomposition en facteurs premiers.
Exercice : Simplifier des fractions et des racines à l’aide de facteurs premiers
Question 1
Simplifie au maximum la fraction suivante :
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Réponse : 36
On peut simplifier une fraction en enlevant le même facteur en haut et en bas.
Si, après simplification, il ne reste rien au dénominateur, on obtient un nombre entier.
Si, après simplification, il ne reste rien au numérateur, on écrit 1.
Question 2
Simplifie au maximum la racine suivante si possible :
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Réponse : 6
Pour simplifier une racine carrée, il faut former des paquets de deux mêmes facteurs premiers. On utilise le fait que la racine carrée d’un carré est égale au nombre lui-même.
Exemple :
Question 3
Décompose 44 en facteurs premiers.
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Réponse : 2 x 2 x 11
Pour arriver à cette décomposition on va diviser 44 par tous les nombres premiers jusqu’à ce qu’on dépasse 44/2 donc 22. La liste des nombres premiers est 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19.
Maintenant on applique les divisions successives :
44/2 = 22
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2
Nouveau nombre : 22
22/2 = 22
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2 x 2
Nouveau nombre : 11
Le nouveau nombre 11 est premier on l’ajoute à la décomposition et on arrête là.
Décomposition : 2 x 2 x 11
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Question 4
Simplifie au maximum la racine suivante si possible :
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Réponse :
On ne peut pas faire des paquets de deux mêmes facteurs premiers, il n’y a pas de simplification possible.
Question 5
Décompose 96 en facteurs premiers.
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Réponse : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
Pour arriver à cette décomposition on va diviser 96 par tous les nombres premiers jusqu’à ce qu’on dépasse 96/2 donc 48. La liste des nombres premiers est 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47.
Maintenant on applique les divisions successives :
96/2 = 48
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2
Nouveau nombre : 48
48/2 = 48
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2 x 2
Nouveau nombre : 24
24/2 = 48
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2 x 2 x 2
Nouveau nombre : 12
12/2 = 48
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2 x 2 x 2 x 2
Nouveau nombre : 6
6/2 = 48
2 est un facteur premier, on l’ajoute à la décomposition et on divise le nombre de départ par 2.
Décomposition : 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Nouveau nombre : 3
Le nouveau nombre 3 est premier on l’ajoute à la décomposition et on arrête là.
Décomposition : 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3
Question 6
Simplifie au maximum la fraction suivante :
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Réponse : 33
On peut simplifier une fraction en enlevant le même facteur en haut et en bas. Si, après simplification, il ne reste rien au dénominateur, on obtient un nombre entier. Si, après simplification, il ne reste rien au numérateur, on écrit 1.